|
|
 |
Условие
Дан тетраэдр, у которого периметры всех граней равны между собой. Докажите, что сами грани равны между собой.
Подсказка
Составьте систему уравнений на длины ребер и выведите из нее, что пары скрещивающихся ребер тетраэдра равны.
Решение
Обозначим длины рёбер одной из граней через a, b, c. Рёбра, скрещивающиеся с a, b, c обозначим соответственно через a', b', c'. Запишем равенство периметров граней, имеющих общее ребро a: a + b + c = a + b' + c', откуда b + c = b' + c'. Аналогично получаем a + b = a' + b', c + a = c' + a'. Из этих трёх уравнений выводим: b – b' = c' – c = a – a' = b' – b. Таким образом, b' – b = b – b', откуда следует, что b = b'. Аналогично a = a' и c = c'. Значит, пары скрещивающихся рёбер тетраэдра равны, и тетраэдр является равногранным.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
