ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 35803
УсловиеЕсли повернуть многоугольник вокруг некоторой точки на 70 градусов, то он совместится сам с собой.
Какое наименьшее число вершин может быть у такого многоугольника?
ПодсказкаМногоугольник совместится сам с собой при поворотах на углы в 70, 2*70, 3*70,... градусов.
РешениеЯсно, что правильный 36-угольник переходит в себя при повороте на угол 100
вокруг его центра. Следовательно, он
переходит в себя и при повороте на угол 700
вокруг его центра.
Покажем, что многоугольник, о котором идет речь в условии, не может иметь
меньше 36 вершин.
Рассмотрим одну из его вершин A0. Пусть мы совершили поворот на угол в 700
вокруг точки O. Многоугольник самосовместился, а вершина A0 перешла в некоторую вершину
A1 (при повороте вершина переходит в вершину!). Поскольку угол поворота не кратен 360
градусам, A1 будет отлична от A0.
Далее, повернем многоугольник на 2*700, 3*700,
4*700, ... , 35*70A0, он снова будет самосовмещаться.
При этом вершина
A переходит в вершины A2, A3, ... , A35.
Никакие две из вершин A0, A1, ... , A35 не
будут совпадать, так как любая пара из этих вершин совмещается поворотом вокруг точки O
на угол, не кратный 3600.
Ответ36.00 Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке