|
|
 |
Условие
Дан квадрат ABCD. Найдите геометрическое место точек M таких, что ∠AMB = ∠CMD.
Решение
Искомым геометрическим местом точек является объединение серединного перпендикуляра m к отрезку BC, четырех лучей, дополняющих диагонали квадрата до прямых, и двух дуг окружности, описанной около квадрата, не включая его вершины (см. рис. а).
Несложно убедиться, что любая точка, принадлежащая этому множеству, удовлетворяет условию.
Докажем обратное утверждение. Пусть точка X удовлетворяет условию. Тогда, по следствию из теоремы синусов, должны быть равны радиусы окружностей, описанных около треугольников AXB и CXD. Их центры, точки O1 и O2 соответственно, лежат на общем серединном перпендикуляре к отрезкам АВ и CD.
Если точки O1 и O2 совпадают, то X принадлежит окружности, описанной около данного квадрата, но не принадлежит дугам АВ и CD, так как в этом случае один из данных углов будет острым, а другой — тупым.
| Рис. а | Рис. б |
Если точка O1 — слева от (АВ), а точка O2 — справа от (CD) (или наоборот), то окружности симметричны относительно прямой m, поэтому их точки пересечения X лежат на этой прямой.
Если точки O1 и O2 лежат по одну сторону от
(АВ) и (CD), то одна из окружностей получается из другой параллельным переносом на
.
Рассмотрим одно из четырех возможных положений точки X,
например, слева от (АВ) и выше (O1O2) (см. рис. б),
так как остальные три возможных положения рассматриваются абсолютно аналогичны.
Так как |O1X| = |O2X| = |O1B| =
|O1A| и |O1O2| =
= |AB|, то ΔO1AB=
ΔXO2O1. Пусть ∠XO2O1 =
∠ABO1 = α, тогда ∠BO1O2 =
90° — α, следовательно, ∠XO2С = 90°, то есть,
∠XDС = 45°. Следовательно, X
лежит на (BD). Так как углы AXB и CXD либо оба острые, либо оба тупые,
то точка X лежит вне квадрата.
Таким образом, рассмотрены все возможные случаи и доказано, что любая точка X, удовлетворяющая условию, принадлежит указанному множеству.
