|
|
 |
Условие
Длина каждой стороны и каждой не главной диагонали выпуклого шестиугольника не превосходит 1. Докажите, что в этом шестиугольнике найдется главная диагональ, длина которой не превосходит .
Решение
Пусть АВСDEF — данный шестиугольник. Рассмотрим все углы, которые образованы главными диагоналями шестиугольника и его сторонами. Таких углов — двенадцать (см. рис.). Их сумма равна сумме углов шестиугольника, то есть, равна 720°. Значит, хотя бы один из них не меньше, чем 60°. Без ограничения общности можно считать, что это ∠DAF.
Рассмотрим ∠DAF. Если
∠DAF ≥ 90°, то он — наибольший в этом треугольнике,
поэтому и сторона DF — наибольшая в этом треугольнике,
тогда |DA| < |DF| ≤ 1. Если 60° ≤
∠DAF < 90°, то используем теорему синусов:
,
тогда
,
так как |DF| ≤ 1 и
.
