Информация о задаче

Задача 52345

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Около четырёхугольника ABCD можно описать окружность. Кроме того, AB = 3, BC = 4, CD = 5 и AD = 2. Найдите AC.

Примените теорему косинусов и свойство вписанного четырёхугольника.

Обозначим угол $\angle$ ABC = $\alpha$ . Тогда

AC² = AB² + BC² - 2AB^.BC cos $\displaystyle \alpha$ = AD² + CD² - 2AD^.CD cos(180^o - $\displaystyle \alpha$ ),

или

9 + 16 - 2^.3^.4 cos $\displaystyle \alpha$ = 4 + 25 + 2^.2^.5 cos $\displaystyle \alpha$ .

Из этого уравнения находим, что cos $\alpha$ = - ${\frac{1}{11}}$ . Следовательно,

AC² = 9 + 16 + 2^.3^.4^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{11}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{299}{11}}$ .

$\sqrt{\frac{299}{11}}$ .