Задача 52358

Темы:    [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Вершина A треугольника ABC соединена отрезком с центром O описанной окружности. Из вершины A проведена высота AH. Докажите, что BAH = OAC.

Подсказка

Продолжите AH и AO до пересечения с окружностью.

Решение

Пусть A — наибольший угол треугольника, AC > AB, M и N — точки пересечения с окружностью лучей AH и AO. Тогда MN || CB. Поэтому CN = BM. Следовательно,

BAH = BAM = NAC = OAC.

Аналогично для остальных случаев.