Задача 53202

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Точка D – середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC с катетами 3 и 4.
Найдите расстояние между центрами вписанных окружностей треугольников ACD и BCD.

Подсказка

Треугольник с вершинами в точке D и в центрах окружностей – прямоугольный.

Решение

  Пусть  AC = 4,  BC = 3,  P₁ и P₂ – периметры равнобедренных треугольников ADC и BDC, r₁ и r₂ – радиусы вписанных окружностей, O₁ и O₂ – их центры, M и N – точки касания со сторонами AC и BC соответственно. Тогда  AB = 5,  P₁ = 9,  P₂ = 8,  2S_ADC = 2S_BDC = S_ABC = 6,  r₁ = ²/₃,  r₂ = ¾.
  Поскольку DN и DM – высоты равнобедренных треугольников ADC и CDB, то  DO₁ = DM – r₁ = ⁵/₆,  DO₂ = DN – r₂ = ⁵/₄.
  По теореме Пифагора  O₁O₂ = = .

Ответ

.