Задача 54506

Темы:    [ Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

Докажите, что геометрическое место точек, удалённых на данное расстояние от данной прямой, есть две параллельные прямые.

Подсказка

Примените свойство прямоугольника.

Решение

Пусть l — данная прямая, h — данное расстояние. Через произвольную точку M, лежащую на прямой l, проведём прямую, перпендикулярную l. На этой прямой возьмём точки A и B, расположенные по разные стороны от прямой l, для которых MA = MB = h. Докажем, что прямые l₁ и l₂, параллельные прямой l и проходящие соответственно через точки A и B, есть указанное в условии геометрическое место точек.

Пусть произвольная точка X, отличная от A, лежит на прямой l₁. Опустив из точки X перпендикуляр XX' на прямую l, получим прямоугольник AXX'M. Значит, XX' = AM = h, т.е. точка X удалена от прямой l на данное расстояние h. Аналогично для произвольной точки прямой l₂.

Пусть теперь некоторая точка Y удалена от прямой l на расстояние h. Предположим, что эта точка и точка A лежат по одну сторону от прямой l. Если Y' — основание перпендикуляра, опущенного из точки Y на прямую l, то AYY'M — прямоугольник. Значит, AYMY', т.е. AYl. Поскольку через точку, не лежащую на прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной, то прямая AY совпадает с прямой l₁. Следовательно, точка Y лежит на прямой l₁.

Если же точки Y и A лежат по разные стороны от прямой l, то аналогично докажем, что точка Y лежит на прямой l₂.