ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54506
Темы:    [ Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что геометрическое место точек, удалённых на данное расстояние от данной прямой, есть две параллельные прямые.


Подсказка

Примените свойство прямоугольника.


Решение

Пусть l — данная прямая, h — данное расстояние. Через произвольную точку M, лежащую на прямой l, проведём прямую, перпендикулярную l. На этой прямой возьмём точки A и B, расположенные по разные стороны от прямой l, для которых MA = MB = h. Докажем, что прямые l1 и l2, параллельные прямой l и проходящие соответственно через точки A и B, есть указанное в условии геометрическое место точек.

Пусть произвольная точка X, отличная от A, лежит на прямой l1. Опустив из точки X перпендикуляр XX' на прямую l, получим прямоугольник AXX'M. Значит, XX' = AM = h, т.е. точка X удалена от прямой l на данное расстояние h. Аналогично для произвольной точки прямой l2.

Пусть теперь некоторая точка Y удалена от прямой l на расстояние h. Предположим, что эта точка и точка A лежат по одну сторону от прямой l. Если Y' — основание перпендикуляра, опущенного из точки Y на прямую l, то AYY'M — прямоугольник. Значит, AY$ \Vert$MY', т.е. AY$ \Vert$l. Поскольку через точку, не лежащую на прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной, то прямая AY совпадает с прямой l1. Следовательно, точка Y лежит на прямой l1.

Если же точки Y и A лежат по разные стороны от прямой l, то аналогично докажем, что точка Y лежит на прямой l2.


© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .