Информация о задаче

Задача 56544

Тема:

[

Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды

]

Сложность: 3
Классы: 7,8

Прислать комментарий

Условие

а) Продолжение биссектрисы угла B треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке M; O — центр вписанной окружности, O_b — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC. Докажите, что точки A, C, O и O_b лежат на окружности с центром M.
б) Точка O, лежащая внутри треугольника ABC, обладает тем свойством, что прямые AO, BO и CO проходят через центры описанных окружностей треугольников BCO, ACO и ABO. Докажите, что O — центр вписанной окружности треугольника ABC.

Решение

а) Так как $\angle$ AOM = $\angle$ BAO + $\angle$ ABO = ( $\angle$ A + $\angle$ B)/2 и $\angle$ OAM = $\angle$ OAC + $\angle$ CAM = $\angle$ A/2 + $\angle$ CBM = ( $\angle$ A + $\angle$ B)/2, то MA = MO. Аналогично MC = MO.
Так как треугольник OAO_b прямоугольный и $\angle$ AOM = $\angle$ MAO = $\varphi$ , то $\angle$ MAO_b = $\angle$ MO_bA = 90^o - $\varphi$ , а значит, MA = MO_b. Аналогично MC = MO_b.
б) Пусть P — центр описанной окружности треугольника ACO. Тогда $\angle$ COP = (180^o - $\angle$ CPO)/2 = 90^o - $\angle$ OAC. Поэтому $\angle$ BOC = 90^o + $\angle$ OAC. Аналогично $\angle$ BOC = 90^o + $\angle$ OAB, а значит, $\angle$ OAB = $\angle$ OAC. Аналогично доказывается, что точка O лежит на биссектрисах углов B и C.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	1
Название	Углы, опирающиеся на равные дуги
Тема	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды
задача
Номер	02.004