ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56544
Тема:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 3
Классы: 7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Продолжение биссектрисы угла B треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке M; O — центр вписанной окружности, Ob — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC. Докажите, что точки A, C, O и Ob лежат на окружности с центром M.
б) Точка O, лежащая внутри треугольника ABC, обладает тем свойством, что прямые AO, BO и CO проходят через центры описанных окружностей треугольников BCO, ACO и ABO. Докажите, что O — центр вписанной окружности треугольника ABC.

Решение

а) Так как $ \angle$AOM = $ \angle$BAO + $ \angle$ABO = ($ \angle$A + $ \angle$B)/2 и $ \angle$OAM = $ \angle$OAC + $ \angle$CAM = $ \angle$A/2 + $ \angle$CBM = ($ \angle$A + $ \angle$B)/2, то MA = MO. Аналогично MC = MO.
Так как треугольник OAOb прямоугольный и  $ \angle$AOM = $ \angle$MAO = $ \varphi$, то  $ \angle$MAOb = $ \angle$MObA = 90o - $ \varphi$, а значит, MA = MOb. Аналогично MC = MOb.
б) Пусть P — центр описанной окружности треугольника ACO. Тогда  $ \angle$COP = (180o - $ \angle$CPO)/2 = 90o - $ \angle$OAC. Поэтому  $ \angle$BOC = 90o + $ \angle$OAC. Аналогично  $ \angle$BOC = 90o + $ \angle$OAB, а значит,  $ \angle$OAB = $ \angle$OAC. Аналогично доказывается, что точка O лежит на биссектрисах углов B и C.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 2
Название Вписанный угол
Тема Вписанный угол
параграф
Номер 1
Название Углы, опирающиеся на равные дуги
Тема Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды
задача
Номер 02.004

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .