Информация о задаче

Задача 56551

Тема:

[

Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды

]

Сложность: 4
Классы: 7,8

Прислать комментарий

Условие

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Третья окружность с центром P пересекает первую окружность в точках A и B, а вторую — в точках C и D. Докажите, что $\angle$ AQD = $\angle$ BQC.

Решение

Ясно, что

$\displaystyle \angle$ (AQ, QD)	= $\displaystyle \angle$ (AQ, QP) + $\displaystyle \angle$ (PQ, QD) = $\displaystyle \angle$ (AB, BP) + $\displaystyle \angle$ (PC, CD),
$\displaystyle \angle$ (CQ, QB)	= $\displaystyle \angle$ (CQ, QP) + $\displaystyle \angle$ (PQ, QB) = $\displaystyle \angle$ (CD, DP) + $\displaystyle \angle$ (PA, AB).

Треугольники APB и CPD равнобедренные, поэтому $\angle$ (AB, BP) = $\angle$ (PA, AB) и $\angle$ (PC, CD) = $\angle$ (CD, DP). Следовательно, $\angle$ (AQ, QD) = $\angle$ (CQ, QB).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	1
Название	Углы, опирающиеся на равные дуги
Тема	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды
задача
Номер	02.010B