ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56551
Тема:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4
Классы: 7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Третья окружность с центром P пересекает первую окружность в точках A и B, а вторую — в точках C и D. Докажите, что $ \angle$AQD = $ \angle$BQC.

Решение

Ясно, что

$\displaystyle \angle$(AQ, QD) = $\displaystyle \angle$(AQ, QP) + $\displaystyle \angle$(PQ, QD) = $\displaystyle \angle$(AB, BP) + $\displaystyle \angle$(PC, CD),    
$\displaystyle \angle$(CQ, QB) = $\displaystyle \angle$(CQ, QP) + $\displaystyle \angle$(PQ, QB) = $\displaystyle \angle$(CD, DP) + $\displaystyle \angle$(PA, AB).    

Треугольники APB и CPD равнобедренные, поэтому $ \angle$(AB, BP) = $ \angle$(PA, AB) и $ \angle$(PC, CD) = $ \angle$(CD, DP). Следовательно, $ \angle$(AQ, QD) = $ \angle$(CQ, QB).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 2
Название Вписанный угол
Тема Вписанный угол
параграф
Номер 1
Название Углы, опирающиеся на равные дуги
Тема Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды
задача
Номер 02.010B

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .