Задача 56553

Тема:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 5 Классы: 7,8

Условие

Многоугольник  A₁A₂...A_2n вписанный. Про все пары его противоположных сторон, кроме одной, известно, что они параллельны. Докажите, что при n нечетном оставшаяся пара сторон тоже параллельна, а при n четном оставшаяся пара сторон равна по длине.

Решение

Доказательство проведем индукцией по n. Для четырехугольника утверждение очевидно, для шестиугольника оно было доказано в предыдущей задаче. Допустим, что утверждение доказано для 2(n - 1)-угольника, и докажем его для 2n-угольника. Пусть  A₁...A_2n есть 2n -угольник, в котором  A₁A₂ || A_{n + 1}A_{n + 2},..., A_{n - 1}A_n || A_{2n - 1}A_2n. Рассмотрим 2(n - 1)-угольник  A₁A₂...A_{n - 1}A_{n + 1}...A_{2n - 1}. По предположению индукции при нечетном n получаем  A_{n - 1}A_{n + 1} = A_{2n - 1}A₁, при четном n получаем  A_{n - 1}A_{n + 1} || A_{2n - 1}A₁.
Рассмотрим треугольник  A_{n - 1}A_nA_{n + 1} и треугольник  A_{2n - 1}A_2nA₁. Пусть n четно. Тогда векторы  и  , и  параллельны и противоположно направлены, поэтому  A_nA_{n - 1}A_{n + 1} = A₁A_{2n - 1}A_2n и  A_nA_{n + 1} = A_2nA₁ как хорды, отсекающие равные дуги, что и требовалось. Пусть n нечетно. Тогда  A_{n - 1}A_{n + 1} = A_{2n - 1}A₁, т. е.  A₁A_{n - 1} || A_{n + 1}A_{2n - 1}. В шестиугольнике  A_{n - 1}A_nA_{n + 1}A_{2n - 1}A_2nA₁ имеем  A₁A_{n - 1} || A_{n + 1}A_{2n - 1}, A_{n - 1}A_n || A_{2n - 1}A_2n, поэтому согласно предыдущей задаче  A_nA_{n + 1} || A_2nA₁, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	1
Название	Углы, опирающиеся на равные дуги
Тема	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды
задача
Номер	02.012