ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56560
Тема:    [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]
Сложность: 3
Классы: 8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На окружности взяты точки  A, C1, B, A1, C, B1 в указанном порядке.
а) Докажите, что если прямые AA1, BB1 и CC1 являются биссектрисами углов треугольника ABC, то они являются высотами треугольника A1B1C1.
б) Докажите, что если прямые AA1, BB1 и CC1 являются высотами треугольника ABC, то они являются биссектрисами углов треугольника A1B1C1.

Решение

а) Докажем, например, что  AA1 $ \perp$ C1B1. Пусть M — точка пересечения этих отрезков. Тогда  $ \angle$AMB1 = ( $ \smile$ AB1 + $ \smile$ A1B + $ \smile$ BC1)/2 = $ \angle$ABB1 + $ \angle$A1AB + $ \angle$BCC1 = ($ \angle$B + $ \angle$A + $ \angle$C)/2 = 90o.
б) Пусть M1 и M2 — точки пересечения отрезков AA1 и BC, BB1 и AC. Прямоугольные треугольники AM1C и BM2C имеют общий угол C, поэтому  $ \angle$B1BC = $ \angle$A1AC, а значит,  $ \smile$ B1C = $ \smile$ A1C и  $ \angle$B1C1C = $ \angle$A1C1C, т. е. CC1 — биссектриса угла A1C1B1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 2
Название Вписанный угол
Тема Вписанный угол
параграф
Номер 2
Название Величина угла между двумя хордами
Тема Величина угла между двумя хордами и двумя секущими
задача
Номер 02.019

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .