Задача 56560

Тема:    [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]

Сложность: 3 Классы: 8

Условие

На окружности взяты точки  A, C₁, B, A₁, C, B₁ в указанном порядке.
а) Докажите, что если прямые AA₁, BB₁ и CC₁ являются биссектрисами углов треугольника ABC, то они являются высотами треугольника A₁B₁C₁.
б) Докажите, что если прямые AA₁, BB₁ и CC₁ являются высотами треугольника ABC, то они являются биссектрисами углов треугольника A₁B₁C₁.

Решение

а) Докажем, например, что  AA₁ C₁B₁. Пусть M — точка пересечения этих отрезков. Тогда  AMB₁ = ( AB₁ + A₁B + BC₁)/2 = ABB₁ + A₁AB + BCC₁ = (B + A + C)/2 = 90^o.
б) Пусть M₁ и M₂ — точки пересечения отрезков AA₁ и BC, BB₁ и AC. Прямоугольные треугольники AM₁C и BM₂C имеют общий угол C, поэтому  B₁BC = A₁AC, а значит,  B₁C = A₁C и  B₁C₁C = A₁C₁C, т. е. CC₁ — биссектриса угла A₁C₁B₁.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	2
Название	Величина угла между двумя хордами
Тема	Величина угла между двумя хордами и двумя секущими
задача
Номер	02.019