Условие
В окружность вписаны треугольники T1 и T2, причем
вершины треугольника T2 являются серединами дуг, на
которые окружность разбивается вершинами треугольника T1. Докажите,
что в шестиугольнике, являющемся пересечением треугольников T1
и T2, диагонали, соединяющие противоположные вершины, параллельны
сторонам треугольника T1 и пересекаются в одной точке.
Решение
Обозначим вершины треугольника T1 через A, B и C;
середины дуг BC, CA, AB через
A1, B1, C1. Тогда
T2 = A1B1C1.
Прямые
AA1, BB1, CC1 являются биссектрисами треугольника T1,
поэтому они пересекаются в одной точке O. Пусть прямые AB и C1B1
пересекаются в точке K. Достаточно проверить, что
KO || AC.
В треугольнике AB1O прямая B1C1 является биссектрисой и высотой,
поэтому этот треугольник равнобедренный. Следовательно,
треугольник AKO тоже равнобедренный. Прямые KO и AC параллельны,
так как
KOA = KAO = OAC.
Источники и прецеденты использования
