Задача 56564

Тема:    [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 3 Классы: 8

Условие

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена касательная AQ к окружности S₁ (точка Q лежит на S₂), а через точку B -- касательная BS к окружности S₂ (точка S лежит на S₁). Прямые BQ и AS пересекают окружности S₁ и S₂ в точках R и P. Докажите, что PQRS — параллелограмм.

Решение

Из равенства угла между касательной и хордой соответствующему вписанному углу следует, что (AB, BC) = (AQ, QB) и (BA, AQ) = (BS, SA). Поэтому (BA, AC) = (AB, BQ), а значит, PS| QR. Далее, (AP, PQ) = (AB, BQ) = (BA, AS) = (BR, RS), поэтому PQ| SR.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	3
Название	Угол между касательной и хордой
Тема	Угол между касательной и хордой
задача
Номер	02.022.1