Задача 56567

Тема:    [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 3 Классы: 8

Условие

Две окружности пересекаются в точках A и B. Из точки A к этим окружностям проведены касательные AM и AN (M и N — точки окружностей). Докажите, что:
а)  ABN + MAN = 180^o;
б)  BM/BN = (AM/AN)².

Решение

а) Так как  MAB = BNA, то сумма углов ABN и MAN равна сумме углов треугольника ABN.
б) Так как  BAM = BNA и  BAN = BMA, то  AMB NAB, а значит,  AM : NA = MB : AB и  AM : NA = AB : NB. Перемножая эти равенства, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	3
Название	Угол между касательной и хордой
Тема	Угол между касательной и хордой
задача
Номер	02.025