Задача 56569

Тема:    [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 4 Классы: 8

Условие

Через точку M, лежащую внутри окружности S, проведена хорда AB; из точки M опущены перпендикуляры MP и MQ на касательные, проходящие через точки A и B. Докажите, что величина 1/PM + 1/QM не зависит от выбора хорды, проходящей через точку M.

Решение

Пусть  — угол между хордой AB и касательной, проходящей через один из ее концов. Тогда  AB = 2R sin, где R — радиус окружности S. Кроме того,  PM = AM sin и  QM = BM sin. Поэтому  + = ((AM + BM)/sin)AM ^. BM = 2R/(AM ^. BM). Величина  AM ^. BM не зависит от выбора хорды AB.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	3
Название	Угол между касательной и хордой
Тема	Угол между касательной и хордой
задача
Номер	02.028