Задача 56570

Темы:    [ Угол между касательной и хордой ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Окружность S₁ касается сторон угла ABC в точках A и C. Окружность S₂ касается прямой AC в точке C и проходит через точку B, окружность S₁ она пересекает в точке M. Докажите, что прямая AM делит отрезок BC пополам.

Решение

Пусть прямая AM пересекает окружность S₂ в точке D. Тогда  MDC = MCA = MAB, поэтому  CD || AB. Далее,  CAM = MCB = MDB, поэтому  AC || BD. Таким образом, ABCD — параллелограмм, и его диагональ AD делит диагональ BC пополам.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	3
Название	Угол между касательной и хордой
Тема	Угол между касательной и хордой
задача
Номер	02.029