Информация о задаче

Задача 56594

Тема:

[

Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды

]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На окружности даны точки A, B и C, причем точка B более удалена от прямой l, касающейся окружности в точке A, чем C. Прямая AC пересекает прямую, проведенную через точку B параллельно l, в точке D. Докажите, что AB² = AC^.AD.

Решение

Пусть D₁ — точка пересечения прямой BD с окружностью, отличная от точки B. Тогда $\smile$ AB = $\smile$ AD₁, поэтому $\angle$ ACB = $\angle$ AD₁B = $\angle$ ABD₁. Треугольники ACB и ABD имеют общий угол A и, кроме того, $\angle$ ACB = $\angle$ ABD, поэтому $\triangle$ ACB $\sim$ $\triangle$ ABD. Следовательно, AB : AC = AD : AB.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	6
Название	Вписанный угол и подобные треугольники
Тема	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды
задача
Номер	02.051