Задача 56594

Тема:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На окружности даны точки A, B и C, причем точка B более удалена от прямой l, касающейся окружности в точке A, чем C. Прямая AC пересекает прямую, проведенную через точку B параллельно l, в точке D. Докажите, что  AB² = AC ^. AD.

Решение

Пусть D₁ — точка пересечения прямой BD с окружностью, отличная от точки B. Тогда  AB = AD₁, поэтому  ACB = AD₁B = ABD₁. Треугольники ACB и ABD имеют общий угол A и, кроме того,  ACB = ABD, поэтому  ACB ABD. Следовательно,  AB : AC = AD : AB.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	6
Название	Вписанный угол и подобные треугольники
Тема	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды
задача
Номер	02.051