На окружности даны точки A, B и C, причем точка B более удалена от прямой l, касающейся окружности в точке A, чем C. Прямая AC пересекает прямую, проведенную через точку B параллельно l, в точке D. Докажите, что  AB² = AC ^. AD.

   Решение

Тема:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На окружности даны точки A, B и C, причем точка B более удалена от прямой l, касающейся окружности в точке A, чем C. Прямая AC пересекает прямую, проведенную через точку B параллельно l, в точке D. Докажите, что  AB² = AC ^. AD.

Решение

Пусть D₁ — точка пересечения прямой BD с окружностью, отличная от точки B. Тогда  AB = AD₁, поэтому  ACB = AD₁B = ABD₁. Треугольники ACB и ABD имеют общий угол A и, кроме того,  ACB = ABD, поэтому  ACB ABD. Следовательно,  AB : AC = AD : AB.

Источники и прецеденты использования