Фома и Ерёма делят кучку из 25 монет в 1, 2, 3, ..., 25 алтынов. На каждом ходу один из них выбирает монету из кучки, а другой говорит, кому её отдать. Первый раз выбирает Фома, далее тот, у кого сейчас больше алтынов, при равенстве – тот же, кто в прошлый раз. Может ли Фома действовать так, чтобы в итоге обязательно получить больше алтынов, чем Ерёма, или Ерёма всегда сможет Фоме помешать?

   Решение

Тема:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Прямая, проходящая через вершину C равнобедренного треугольника ABC, пересекает основание AB в точке M, а описанную окружность в точке N. Докажите, что  CM ^. CN = AC² и  CM/CN = AM ^. BM/(AN ^. BN).

Решение

Так как  ANC = ABC = CAB, то  CAM CNA, а значит,  CA : CM = CN : CA, т. е.  CM ^. CN = AC², и  AM : NA = CM : CA. Аналогично  BM : NB = CM : CB. Поэтому  AM ^. BM/(AN ^. BN) = CM²/CA² = CM²/(CM ^. CN) = CM/CN.

Источники и прецеденты использования