Задача 56601

Тема:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

а) Стороны угла с вершиной C касаются окружности в точках A и B. Из точки P, лежащей на окружности, опущены перпендикуляры PA₁, PB₁ и PC₁ на прямые BC, CA и AB. Докажите, что  PC₁² = PA₁ ^. PB₁ и PA₁ : PB₁ = PB² : PA².
б) Из произвольной точки O вписанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры  OA', OB', OC' на стороны треугольника ABC и перпендикуляры  OA'', OB'', OC'' на стороны треугольника с вершинами в точках касания. Докажите, что  OA' ^. OB' ^. OC' = OA'' ^. OB'' ^. OC''.

Решение

a)  PBA₁ = PAC₁ и  PBC₁ = PAB₁, поэтому прямоугольные треугольники PBA₁ и PAC₁, PAB₁ и PBC₁ подобны, т. е.  PA₁ : PB = PC₁ : PA, PB₁ : PA = PC₁ : PB. Перемножив эти равенства, получим  PA₁ ^. PB₁ = PC₁², а поделив их, получим PA₁ : PB₁ = PB² : PA².
б) Согласно а)  OA'' = , OB'' = , OC'' = . Перемножая эти равенства, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	6
Название	Вписанный угол и подобные треугольники
Тема	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды
задача
Номер	02.058