В вершинах 33-угольника записали в некотором порядке целые числа от 1 до 33. Затем на каждой стороне написали сумму чисел в её концах.
Могут ли на сторонах оказаться 33 последовательных целых числа (в каком-нибудь порядке)?

   Решение

Тема:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

а) Стороны угла с вершиной C касаются окружности в точках A и B. Из точки P, лежащей на окружности, опущены перпендикуляры PA₁, PB₁ и PC₁ на прямые BC, CA и AB. Докажите, что  PC₁² = PA₁ ^. PB₁ и PA₁ : PB₁ = PB² : PA².
б) Из произвольной точки O вписанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры  OA', OB', OC' на стороны треугольника ABC и перпендикуляры  OA'', OB'', OC'' на стороны треугольника с вершинами в точках касания. Докажите, что  OA' ^. OB' ^. OC' = OA'' ^. OB'' ^. OC''.

Решение

a)  PBA₁ = PAC₁ и  PBC₁ = PAB₁, поэтому прямоугольные треугольники PBA₁ и PAC₁, PAB₁ и PBC₁ подобны, т. е.  PA₁ : PB = PC₁ : PA, PB₁ : PA = PC₁ : PB. Перемножив эти равенства, получим  PA₁ ^. PB₁ = PC₁², а поделив их, получим PA₁ : PB₁ = PB² : PA².
б) Согласно а)  OA'' = , OB'' = , OC'' = . Перемножая эти равенства, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования