Задача 56603

Тема:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁; B₂ и C₂ — середины высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что  A₁B₂C₂ ABC.

Решение

Пусть H — точка пересечения высот, M — середина стороны BC. Точки A₁, B₂ и C₂ лежат на окружности с диаметром MH, поэтому  (B₂A₁, A₁C₂) = (B₂M, MC₂) = (AC, AB). Кроме того,  (A₁B₂, B₂C₂) = (A₁H, HC₂) = (BC, AB) и  (A₁C₂, C₂B₂) = (BC, AC).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	6
Название	Вписанный угол и подобные треугольники
Тема	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды
задача
Номер	02.060