Задача 56605

Тема:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Окружность S₁ с диаметром AB пересекает окружность S₂ с центром A в точках C и D. Через точку B проведена прямая, пересекающая S₂ в точке M, лежащей внутри S₁, а S₁ в точке N. Докажите, что  MN² = CN ^. ND.

Решение

Пусть прямые BM и DN пересекают S₂ в точках L и C₁ соответственно. Докажем, что прямые DC₁ и CN симметричны относительно прямой AN. Так как  BN NA, достаточно проверить, что  CNB = BND. Но дуги CB и BD равны. Дуги C₁M и CL симметричны относительно прямой AN, поэтому они равны, а значит,  MDC₁ = CML. Кроме того,  CNM = MND. Следовательно,  MCN DMN, т. е.  CN : MN = MN : DN.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	6
Название	Вписанный угол и подобные треугольники
Тема	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды
задача
Номер	02.062