Информация о задаче

Задача 56607

Тема:

[

Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды

]

Сложность: 6
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

а) Окружность, проходящая через точку C, пересекает стороны BC и AC треугольника ABC в точках A₁ и B₁, а его описанную окружность в точке M. Докажите, что $\triangle$ AB₁M $\sim$ $\triangle$ BA₁M.
б) На лучах AC и BC отложены отрезки AA₁ и BB₁, равные полупериметру треугольника ABC. M — такая точка его описанной окружности, что CM || A₁B₁. Докажите, что $\angle$ CMO = 90^o, где O — центр вписанной окружности.

Решение

а) Так как $\angle$ CAM = $\angle$ CBM и $\angle$ CB₁M = $\angle$ CA₁M, то $\angle$ B₁AM = $\angle$ A₁BM и $\angle$ AB₁M = $\angle$ BA₁M.
б) Пусть M₁ — такая точка окружности S с диаметром CO, что CM₁ || A₁B₁; M₂ — точка пересечения окружности S с описанной окружностью треугольника ABC; A₂ и B₂ — точки касания вписанной окружности со сторонами BC и AC. Достаточно проверить, что M₁ = M₂. Согласно задаче a) $\triangle$ AB₂M₂ $\sim$ $\triangle$ BA₂M₂, поэтому B₂M₂ : A₂M₂ = AB₂ : BA₂. А так как CA₁ = p - b = BA₂ и CB₁ = AB₂, то

$\displaystyle {\frac{B_2M_1}{A_2M_1}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin B_2CM_1}{\sin A_2CM_1}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin CA_1B_1}{\sin CB_1A_1}}$ = $\displaystyle {\frac{CB_1}{CA_1}}$ = $\displaystyle {\frac{AB_2}{BA_2}}$ .

На дуге A₂CB₂ окружности S существует единственная точка X, для которой B₂X : A₂X = k (см. задачу 7.14), поэтому M₁ = M₂.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	6
Название	Вписанный угол и подобные треугольники
Тема	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды
задача
Номер	02.064