Условие
Продолжение биссектрисы
AD остроугольного
треугольника
ABC пересекает описанную окружность в точке
E.
Из точки
D на стороны
AB и
AC опущены перпендикуляры
DP
и
DQ. Докажите, что
SABC =
SAPEQ.
Решение
Точки
P и
Q лежат на окружности с диаметром
AD; эта
окружность пересекает сторону
BC в точке
F (
F не совпадает с
D,
если
AB
AC). Ясно, что
(
FC,
CE) =
(
BA,
AE) =
(
DA,
AQ) =
(
DF,
FQ), т. е.
EC ||
FQ.
Аналогично
BE ||
FP. Для завершения доказательства остается
заметить, что площади треугольников, прилегающих к боковым сторонам
трапеции, равны.
Источники и прецеденты использования
