Информация о задаче

Задача 56614

Тема:

[

Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями

]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

ABCD - вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. P - точка пересечения диагоналей. Известен радиус описанной окружности R.
а) Найдите AP² + BP² + CP² + DP².
б) Найдите сумму квадратов сторон четырехугольника ABCD.

Решение

Пусть $\angle$ AOB = 2 $\alpha$ и $\angle$ COD = 2 $\beta$ . Тогда $\alpha$ + $\beta$ = $\angle$ ADP + $\angle$ PAD = 90^o. Поэтому (AP² + BP²) + (CP² + DP²) = AB² + CD² = 4R²(sin² $\alpha$ + cos² $\alpha$ ) = 4R². Аналогично BC² + AD² = 4R².

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	8
Название	Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями
Тема	Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями
задача
Номер	02.071