Задача 56614

Тема:    [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

ABCD - вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. P - точка пересечения диагоналей. Известен радиус описанной окружности R.
а) Найдите  AP² + BP² + CP² + DP².
б) Найдите сумму квадратов сторон четырехугольника ABCD.

Решение

Пусть  AOB = 2 и  COD = 2. Тогда  + = ADP + PAD = 90^o. Поэтому  (AP² + BP²) + (CP² + DP²) = AB² + CD² = 4R²(sin² + cos²) = 4R². Аналогично  BC² + AD² = 4R².

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	8
Название	Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями
Тема	Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями
задача
Номер	02.071