Задача 56615

Тема:    [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

ABCD - вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. O - центр описанной окружности четырехугольника ABCD. P - точка пересечения диагоналей.
Найдите сумму квадратов диагоналей, если известны длина отрезка OP и радиус окружности R.

Решение

Пусть M — середина AC, N — середина BD.  AM² = AO² - OM², BN² = BO² - ON², поэтому  AC² + BD² = 4(R² - OM²) + 4(R² - ON²) = 8R² - 4(OM² + ON²) = 8R² - 4OP², так как  OM² + ON² = OP².

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	8
Название	Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями
Тема	Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями
задача
Номер	02.072