Задача 56631

Тема:    [ Точка Микеля ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Точки A, B, C и D лежат на окружности с центром O. Прямые AB и CD пересекаются в точке E, а описанные окружности треугольников AEC и BED пересекаются в точках E и P. Докажите, что:
а) точки A, D, P и O лежат на одной окружности;
б)  EPO = 90^o.

Решение

а) Так как  (AP, PD) = (AP, PE) + (PE, PD) = (AC, CD) + (AB, BD) = (AO, OD), точки A, P, D и O лежат на одной окружности.
6) Ясно, что  (EP, PO) = (EP, PA) + (PA, PO) = (DC, CA) + (DA, DO) = 90^o, так как дуги, на которые опираются эти углы, составляют половину окружности.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	10
Название	Точка Микеля
Тема	Точка Микеля
задача
Номер	02.086