Задача 56765

Тема:    [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

а) Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке P. Известны площади треугольников ABP, BCP, CDP. Найдите площадь треугольника ADP.
б) Выпуклый четырехугольник разбит диагоналями на четыре треугольника, площади которых выражаются целыми числами. Докажите, что произведение этих чисел представляет собой точный квадрат.

Решение

а) Так как  S_ADP : S_ABP = DP : BP = S_CDP : S_BCP, то  S_ADP = S_ABP ^. S_CDP/S_BCP.
б) Согласно задаче a)  S_ADP ^. S_CBP = S_ABP ^. S_CDP. Поэтому

S_ABP ^. S_CBP ^. S_CDP ^. S_ADP = (S_ADP ^. S_CBP)².

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	3
Название	Площади треугольников, на которые разбит четырехугольник
Тема	Площадь четырехугольника
задача
Номер	04.015