Задача 56766

Тема:    [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, причем  S_ABP² + S_CDP² = S_BCP² + S_ADP². Докажите, что P — середина одной из диагоналей.

Решение

После сокращения на  sin²/4, где  — угол между диагоналями, данное равенство площадей перепишется в виде  (AP ^. BP)² + (CP ^. DP)² = (BP ^. CP)² + (AP ^. DP)², т. е.  (AP² - CP²)(BP² - DP²) = 0.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	3
Название	Площади треугольников, на которые разбит четырехугольник
Тема	Площадь четырехугольника
задача
Номер	04.016