Задача 56767

Тема:    [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

В выпуклом четырехугольнике ABCD существуют три внутренние точки  P₁, P₂, P₃, не лежащие на одной прямой и обладающие тем свойством, что сумма площадей треугольников ABP_i и CDP_i равна сумме площадей треугольников BCP_i и ADP_i для i = 1, 2, 3. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Решение

Предположим, что четырехугольник ABCD не параллелограмм; например, прямые AB и CD пересекаются. Согласно задаче 7.2 множеством точек P, лежащих внутри четырехугольника ABCD, для которых  S_ABP + S_CDP = S_BCP + S_ADP = S_ABCD/2, является отрезок. Следовательно, точки P₁, P₂ и P₃ лежат на одной прямой. Получено противоречие.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	3
Название	Площади треугольников, на которые разбит четырехугольник
Тема	Площадь четырехугольника
задача
Номер	04.017