Условие
Отрезок
MN, параллельный стороне
CD
четырехугольника
ABCD, делит его площадь пополам (точки
M
и
N лежат на сторонах
BC и
AD). Длины отрезков,
проведенных из точек
A и
B параллельно
CD до пересечения
с прямыми
BC и
AD, равны
a и
b. Докажите,
что
MN2 = (
ab +
c2)/2, где
c =
CD.
Решение
Пусть для определенности лучи
AD и
BC пересекаются
в точке
O. Тогда
SCDO :
SMNO =
c2 :
x2, где
x =
MN,
и
SABO :
SMNO =
ab :
x2, так как
OA :
ON =
a :
x и
OB :
OM =
b :
x. Следовательно,
x2 -
c2 =
ab -
x2, т. е.
2
x2 =
ab +
c2.
Источники и прецеденты использования
