Задача 56791

Тема:    [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Точки A и B окружности S₁ соединены дугой окружности S₂, делящей площадь круга, ограниченного S₁, на равные части. Докажите, что дуга S₂, соединяющая A и B, по длине больше диаметра S₁.

Решение

Рассматривая образ окружности S₂ при симметрии относительно центра окружности S₁ и учитывая равенство площадей, можно доказать, что диаметр AA₁ окружности S₁ пересекает S₂ в некоторой точке K, отличной от A, причем AK > A₁K. Окружность радиуса KA₁ с центром K касается окружности S₁ в точке A₁, поэтому BK > A₁K, т. е.  BK + KA > A₁A. Ясно также, что сумма длин отрезков BK и KA меньше длины дуги S₂, соединяющей точки A и B.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	6
Название	Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части
Тема	Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части
задача
Номер	04.040