Условие
Кривая
делит квадрат на две части равной
площади. Докажите, что на ней можно выбрать две точки
A
и
B так, что прямая
AB проходит через центр
O квадрата.
Решение
Случай, когда точка
O принадлежит
, очевиден;
поэтому будем предполагать, что
O не принадлежит
.
Пусть
— образ кривой
при симметрии относительно
точки
O. Если кривые
и
не пересекаются, то части, на
которые
делит квадрат, не могут быть равной площади.
Пусть
X — точка пересечения
и
, а точка
X'
симметрична
X относительно точки
O. Так как при симметрии
относительно точки
O кривая
переходит в
, то
X'
принадлежит
. Поэтому прямая
XX' искомая.
Источники и прецеденты использования
