Задача 56793

Тема:    [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке P. Расстояния от точек A, B и P до прямой CD равны a, b и p. Докажите, что площадь четырехугольника ABCD равна  ab ^. CD/2p.

Решение

Пусть площади треугольников  APB, BPC, CPD и DPA равны  S₁, S₂, S₃ и S₄. Тогда  a/p = (S₃ + S₄)/S₃ и  b ^. CD/2 = S₃ + S₂, а значит,  ab ^. CD/2p = (S₃+S₄)(S₃+S₂)/S₃. Учитывая, что  S₂S₄ = S₁S₃, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	7
Название	Формулы для площади четырехугольника
Тема	Площадь четырехугольника
задача
Номер	04.042