Задача 56796
|
|
 |
Условие
а) Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника ABCD вычисляется по формуле
S2 = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d )- abcd cos2((B + D)/2),
где p — полупериметр, a, b, c, d — длины сторон.
б) Докажите, что если четырехугольник ABCD вписанный, то S2 = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d ).
в) Докажите, что если четырехугольник ABCD описанный, то S2 = abcd sin2((B + D)/2).
Решение
а) Пусть AB = a, BC = b, CD = c и AD = d. Ясно, что S = SABC + SADC = (ab sin B + cd sin D)/2 и a2 + b2 - 2ab cos B = AC2 = c2 + d2 - 2cd cos D. Поэтому| 16S2 = 4a2b2 - 4a2b2cos2B + 8abcd sin B sin D + 4c2d2 - 4c2d2cos2D, | |
| (a2 + b2 - c2 - d2)2 + 8abcd cos B cos D = 4a2b2 . cos2B + 4c2d2cos2D. |
Подставляя второе равенство в первое, получаем
16S2 = 4(ab + cd )2 - (a2 + b2 - c2 - d2)2 - 8abcd (1 + cos B cos D - sin B sin D).
Ясно, что
4(ab + cd )2 - (a2 + b2 - c2 - d2)2 = 16(p - a)(p - b)(p - c)(p - d )
и
1 + cos B cos D - sin B sin D = 2 cos2((B + D)/2).
б) Если ABCD — вписанный четырехугольник, то
в) Если ABCD — описанный четырехугольник, то a + c = b + d, поэтому p = a + c = b + d и p - a = c, p - b = d, p - c = a, p - d = b. Следовательно, S2 = abcd (1 - cos2((B + D)/2)) = abcd sin2((B + D)/2).
Если четырехугольник ABCD вписанный и описанный одновременно, то S2 = abcd.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 4 |
| Название | Площадь |
| Тема | Площадь |
| параграф | |
| Номер | 7 |
| Название | Формулы для площади четырехугольника |
| Тема | Площадь четырехугольника |
| задача | |
| Номер | 04.045 |
