Задача 56797

Тема:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

Докажите, что сумма расстояний от точки, взятой произвольно внутри правильного треугольника, до его сторон постоянна (и равна высоте треугольника).

Решение

Из точки O, лежащей внутри правильного треугольника ABC, опустим перпендикуляры OA₁, OB₁ и OC₁ на стороны BC, AC и AB соответственно. Пусть a — длина стороны треугольника ABC, h — длина высоты. Ясно, что  S_ABC = S_BCO + S_ACO + S_ABO. Следовательно,  ah = a ^. OA₁ + a ^. OB₁ + a ^. OC₁, т. е.  h = OA₁ + OB₁ + OC₁.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	8
Название	Вспомогательная площадь
Тема	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу
задача
Номер	04.046