Задача 56799

Тема:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

Внутри треугольника ABC взята точка O; прямые AO, BO и CO пересекают его стороны в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что:
а)  + + = 1;
б)  ^{. .} = 1.

Решение

а) Пусть расстояния от точек A и O до прямой BC равны h и h₁. Тогда  S_OBC : S_ABC = h₁ : h = OA₁ : AA₁. Аналогично  S_OAC : S_ABC = OB₁ : BB₁ и  S_OAB : S_ABC = OC₁ : CC₁. Складывая эти равенства и учитывая, что  S_OBC + S_OAC + S_OAB = S_ABC, получаем требуемое.
б) Пусть расстояния от точек B и C до прямой AA₁ равны d_b и d_c. Тогда  S_ABO : S_ACO = d_b : d_c = BA₁ : A₁C. Аналогично  S_ACO : S_BCO = AC₁ : C₁B и  S_BCO : S_ABO = CB₁ : B₁A. Остается перемножить эти равенства.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	8
Название	Вспомогательная площадь
Тема	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу
задача
Номер	04.048