В школе изучают 2n предметов. Все ученики учатся на 4 и 5. Никакие два ученика не учатся одинаково, ни про каких двух нельзя сказать, что один из них учится лучше другого. Доказать, что число учеников в школе не больше   .
(Мы считаем, что ученик p учится лучше ученика q, если у p оценки по всем предметам не ниже, чем у q, а по некоторым предметам – выше.)

   Решение

Тема:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что радиус вписанной окружности равен трети одной из высот треугольника.

Решение

Пусть длины сторон треугольника ABC равны a, b и c, причем  a b c. Тогда 2b = a + c и  2S_ABC = r(a + b + c) = 3rb, где r — радиус вписанной окружности. С другой стороны,  2S_ABC = h_bb. Поэтому r = h_b/3.

Источники и прецеденты использования