Условие
Докажите, что если никакие стороны четырехугольника
не параллельны, то середина отрезка, соединяющего
точки пересечения противоположных сторон, лежит на прямой, соединяющей
середины диагоналей (прямая Гаусса).
Решение
Пусть E и F — точки пересечения продолжений
сторон данного четырехугольника. Обозначим вершины
четырехугольника так, что E — точка пересечения продолжений
сторон AB и CD за точки B и C, F — точка пересечения
лучей BC и AD. Достроим треугольники AEF и ABD до
параллелограммов AERF и ABLD.
При гомотетии с центром A и коэффициентом 2 середина
диагонали BD, середина диагонали AC и середина отрезка EF
переходят в точки L, C и R соответственно. Поэтому достаточно
доказать, что точки L, C и R лежат на одной прямой. Именно
этот факт был доказан в задаче 4.54.
Источники и прецеденты использования
