Информация о задаче

Задача 56810

Тема:

[

Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу

]

Сложность: 6
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Внутри треугольника ABC взята точка O. Обозначим расстояния от точки O до сторон BC, CA, AB треугольника через d_a, d_b, d_c, а расстояния от точки O до вершин A, B, C через R_a, R_b, R_c. Докажите, что:
а) aR_a $\geq$ cd_c + bd_b;
б) d_aR_a + d_bR_b + d_cR_c $\geq$ 2(d_ad_b + d_bd_c + d_cd_a);
в) R_a + R_b + R_c $\geq$ 2(d_a + d_b + d_c) (Эрдёш-Морделл);
г) R_aR_bR_c $\geq$ (R/2r)(d_a + d_b)(d_b + d_c)(d_c + d_a).

Решение

Докажем сначала одно общее утверждение, которым мы воспользуемся при решении задач а)г). Возьмем на лучах AB и AC произвольные точки B₁ и C₁ и опустим из них перпендикуляры B₁K и C₁L на прямую AO. Так как B₁C₁ $\geq$ B₁K + C₁L, то B₁C₁^.R_a $\geq$ B₁K^.R_a + C₁L^.R_a = 2S_AOB₁ + 2S_AOC₁ = AB₁^.d_c + AC₁^.d_b.
а) Полагая B₁ = B и C₁ = C, получаем требуемое.
б) Домножая обе части неравенства aR_a $\geq$ cd_c + bd_b на d_a/a, получаем d_aR_a $\geq$ (c/a)d_ad_c + (b/a)d_ad_b. Складывая это неравенство с аналогичными неравенствами для d_bR_b и d_cR_c и учитывая, что ${\frac{x}{y}}$ + ${\frac{y}{x}}$ $\geq$ 2, получаем требуемое.
в) Возьмем точки B₁ и C₁ так, что AB₁ = AC и AC₁ = AB. Тогда aR_a $\geq$ bd_c + cd_b, т. е. R_a $\geq$ (b/a)d_c + (c/a)d_b. Складывая это неравенство с аналогичными неравенствами для R_b и R_c и учитывая, что ${\frac{x}{y}}$ + ${\frac{y}{x}}$ $\geq$ 2, получаем требуемое.
г) Возьмем точки B₁ и C₁ так, что AB₁ = AC₁ = 1.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	8
Название	Вспомогательная площадь
Тема	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу
задача
Номер	04.058