Задача 56830

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Условие

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, причем  AC₁ = AB₁, BA₁ = BC₁ и CA₁ = CB₁. Докажите, что A₁, B₁ и C₁ — точки касания вписанной окружности со сторонами.

Решение

Пусть  AC₁ = AB₁ = x, BA₁ = BC₁ = y и  CA₁ = CB₁ = z. Тогда  a = y + z, b = z + x и c = x + y. Вычитая третье равенство из суммы первых двух, получаем  z = (a+b-c)/2. Поэтому, если треугольник ABC задан, то положение точек A₁ и B₁ определено однозначно. Аналогично положение точки C₁ определено однозначно. Остается заметить, что точки касания вписанной окружности со сторонами удовлетворяют указанным в условии задачи соотношениям.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	1
Название	Вписанная и описанная окружности
Тема	Вписанные и описанные окружности
задача
Номер	05.001