Задача 56831

Тема:    [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3 Классы: 8

Условие

Пусть O_a, O_b и O_c — центры вневписанных окружностей треугольника ABC. Докажите, что точки A, B и C — основания высот треугольника O_aO_bO_c.

Решение

Лучи CO_a и CO_b — биссектрисы внешних углов при вершине C, поэтому C лежит на прямой O_aO_b и  O_aCB = O_bCA. Так как CO_c — биссектриса угла BCA, то  BCO_c = ACO_c. Складывая эти равенства, получаем  O_aCO_c = O_cCO_b, т. е. O_cC — высота треугольника O_aO_bO_c. Аналогично доказывается, что O_aA и O_bB — высоты этого треугольника.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	1
Название	Вписанная и описанная окружности
Тема	Вписанные и описанные окружности
задача
Номер	05.002