Задача 56833

Тема:    [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8

Условие

Внутри треугольника ABC взята такая точка P, что  PAB : PAC = PCA : PCB = PBC : PBA = x. Докажите, что x = 1.

Решение

Пусть AA₁, BB₁ и CC₁ — биссектрисы треугольника ABC, O — точка их пересечения. Предположим, что x > 1. Тогда  PAB > PAC, т. е. точка P лежит внутри треугольника AA₁C. Аналогично точка P лежит внутри треугольников CC₁B и BB₁A. Но единственной общей точкой трех этих треугольников является точка O. Получено противоречие. Случай x < 1 разбирается аналогично.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	1
Название	Вписанная и описанная окружности
Тема	Вписанные и описанные окружности
задача
Номер	05.004