Задача 56834

Тема:    [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 5 Классы: 8

Условие

Пусть A₁, B₁ и C₁ — проекции некоторой внутренней точки O треугольника ABC на высоты. Докажите, что если длины отрезков AA₁, BB₁ и CC₁ равны, то они равны 2r.

Решение

Пусть d_a, d_b и d_c — расстояния от точки O до сторон BC, CA и AB. Тогда  ad_a + bd_b + cd_c = 2S и  ah_a = bh_b = ch_c = 2S. Если  h_a - d_a = h_b - d_b = h_c - d_c = x, то  (a + b + c)x = a(h_a - d_a) + b(h_b - d_b) + c(h_c - d_c) = 6S - 2S = 4S. Поэтому  x = 4S/2p = 2r.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	1
Название	Вписанная и описанная окружности
Тема	Вписанные и описанные окружности
задача
Номер	05.005