ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56838
Тема:    [ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 6
Классы: 8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) На стороне AB треугольника ABC взята точка P. Пусть r, r1 и r2 — радиусы вписанных окружностей треугольников ABC, BCP и ACP; h — высота, опущенная из вершины C. Докажите, что r = r1 + r2 - 2r1r2/h.
б) Точки A1, A2, A3,... лежат на одной прямой (в указанном порядке). Докажите, что если радиусы вписанных окружностей всех треугольников BAiAi + 1 равны одному и тому же числу r1, то радиусы вписанных окружностей всех треугольников BAiAi + k равны одному и тому же числу rk.

Решение

а) Пусть x1 = BP и x2 = AP. Тогда r1 = $ {\frac{x_1h}{a+p+x_1}}$, r2 = $ {\frac{x_2h}{b+p+x_2}}$, r = $ {\frac{(x_1+x_2)h}{a+b+p+x_1+x_2}}$. После несложных преобразований требуемое равенство приводится к виду x2(p2 + x12 - a2) + x1(p2 + x22 - b2) = 0. Остается заметить, что p2 + x12 - a2 = 2px1cos BPC, p2 + x22 - b2 = 2px2cos APC и cos BPC = - cos APC.
б) Согласно задаче а) rk + 1 = r1 + rk - $ {\frac{2r_1r_k}{h}}$, где h — расстояние от точки B до прямой A1A2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 1
Название Вписанная и описанная окружности
Тема Вписанные и описанные окружности
задача
Номер 05.008.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .