Задача 56839

Тема:    [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3 Классы: 8

Условие

Докажите, что точки, симметричные точке пересечения высот треугольника ABC относительно его сторон, лежат на описанной окружности.

Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ — точки, симметричные точке H относительно сторон BC, CA и AB соответственно. Так как  AB CH и  BC AH, то  (AB, BC) = (CH, HA), а так как треугольник AC₁H равнобедренный, то  (CH, HA) = (AC₁, C₁C). Следовательно,  (AB, BC) = (AC₁, C₁C), т. е. точка C₁ лежит на описанной окружности треугольника ABC. Аналогично доказывается, что точки A₁ и B₁ лежат на этой окружности.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	1
Название	Вписанная и описанная окружности
Тема	Вписанные и описанные окружности
задача
Номер	05.009