ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56839
Тема:    [ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 3
Классы: 8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что точки, симметричные точке пересечения высот треугольника ABC относительно его сторон, лежат на описанной окружности.

Решение

Пусть A1, B1 и C1 — точки, симметричные точке H относительно сторон BC, CA и AB соответственно. Так как  AB $ \perp$ CH и  BC $ \perp$ AH, то  $ \angle$(AB, BC) = $ \angle$(CH, HA), а так как треугольник AC1H равнобедренный, то  $ \angle$(CH, HA) = $ \angle$(AC1, C1C). Следовательно,  $ \angle$(AB, BC) = $ \angle$(AC1, C1C), т. е. точка C1 лежит на описанной окружности треугольника ABC. Аналогично доказывается, что точки A1 и B1 лежат на этой окружности.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 1
Название Вписанная и описанная окружности
Тема Вписанные и описанные окружности
задача
Номер 05.009

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .