Информация о задаче

Задача 56840

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 4
Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Из точки P дуги BC описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры PX, PY и PZ на BC, CA и AB соответственно. Докажите, что ${\frac{BC}{PX}}$ = ${\frac{AC}{PY}}$ + ${\frac{AB}{PZ}}$ .

Решение

Точки X, Y и Z лежат на одной прямой (задача 5.85, а)). Поэтому S_PYZ = S_PXZ + S_PXY. Кроме того, S_PYZ = ${\frac{1}{2}}$ PX^.PZ sin $\alpha$ , так как PX $\bot$ BC и PZ $\bot$ CA. Подставив аналогичным образом две другие площади, получим

$\displaystyle {\frac{\sin\alpha}{PX}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin\beta}{PY}}$ + $\displaystyle {\frac{\sin\gamma}{PZ}}$ .

Остается заметить, что sin $\alpha$ : sin $\beta$ : sin $\gamma$ = BC : CA : AB.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	1
Название	Вписанная и описанная окружности
Тема	Вписанные и описанные окружности
задача
Номер	05.010