Задача 56845

Тема:    [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 5 Классы: 8

Условие

В треугольнике ABC сторона BC наименьшая. На лучах BA и CA отложены отрезки BD и CE, равные BC. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника ADE равен расстоянию между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

Решение

Пусть O и O₁ — центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC. Рассмотрим окружность радиуса d = OO₁ с центром O. Проведем в этой окружности хорды O₁M и O₁N, параллельные сторонам AB и AC соответственно. Пусть K — точка касания вписанной окружности со стороной AB, L — середина стороны AB. Так как  OK AB, O₁L AB и  O₁M| AB, то  O₁M = 2KL = 2BL - 2BK = c - (a + c - b) = b - a = AE. Аналогично O₁N = AD, а значит,  MO₁N = EAD. Следовательно, радиус описанной окружности треугольника EAD равен d.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	1
Название	Вписанная и описанная окружности
Тема	Вписанные и описанные окружности
задача
Номер	05.014