|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC сторона BC наименьшая. На
лучах BA и CA отложены отрезки BD и CE, равные BC.
Докажите, что радиус описанной окружности треугольника ADE равен
расстоянию между центрами вписанной и описанной окружностей
треугольника ABC.
Решение
Пусть O и O1 — центры вписанной и описанной
окружностей треугольника ABC. Рассмотрим окружность радиуса d = OO1
с центром O. Проведем в этой окружности хорды O1M и O1N,
параллельные сторонам AB и AC соответственно. Пусть K — точка
касания вписанной окружности со стороной AB, L — середина
стороны AB. Так как
OK AB, O1L
AB и
O1M| AB,
то
O1M = 2KL = 2BL - 2BK = c - (a + c - b) = b - a = AE. Аналогично O1N = AD, а
значит,
MO1N =
EAD. Следовательно, радиус
описанной окружности треугольника EAD равен d.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 5 |
| Название | Треугольники |
| параграф | |
| Номер | 1 |
| Название | Вписанная и описанная окружности |
| Тема | Вписанные и описанные окружности |
| задача | |
| Номер | 05.014 |
