Задача 56860

Тема:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3 Классы: 8

Условие

Докажите, что если точка пересечения высот остроугольного треугольника делит высоты в одном и том же отношении, то треугольник правильный.

Решение

Пусть H — точка пересечения высот AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC. По условию  A₁H ^. BH = B₁H ^. AH. С другой стороны, так как точки A₁ и B₁ лежат на окружности с диаметром AB, то  AH ^. A₁H = BH ^. B₁H. Следовательно, AH = BH и A₁H = B₁H, а значит, AC = BC. Аналогично BC = AB.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	3
Название	Правильный треугольник
Тема	Правильный (равносторонний) треугольник
задача
Номер	05.026