Информация о задаче

Задача 56861

Тема:

[

Правильный (равносторонний) треугольник

]

Сложность: 3
Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что если a + h_a = b + h_b = c + h_c, то треугольник ABC правильный.
б) В треугольник ABC вписаны три квадрата: у одного две вершины лежат на стороне AC, у другого — на BC, у третьего — на AB. Докажите, что если все три квадрата равны, то треугольник ABC правильный.

Решение

а) Предположим, что треугольник ABC неправильный; например a $\ne$ b. Так как a + h_a = a + b sin $\gamma$ и b + h_b = b + a sin $\gamma$ , то (a - b)(1 - sin $\gamma$ ) = 0. Поэтому sin $\gamma$ = 1, т. е. $\gamma$ = 90^o. Но тогда a $\ne$ c, и аналогичные рассуждения показывают, что $\beta$ = 90^o. Получено противоречие.
б) Обозначим сторону квадрата, две вершины которого лежат на стороне BC, через x. Из подобия треугольников ABC и APQ, где P и Q — вершины квадрата, лежащие на AB и AC, получаем ${\frac{x}{a}}$ = ${\frac{h_a-x}{h_a}}$ , т. е. x = ${\frac{ah_a}{a+h_a}}$ = ${\frac{2S}{a+h_a}}$ . Аналогичные рассуждения для других квадратов показывают, что a + h_a = b + h_b = c + h_c.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	3
Название	Правильный треугольник
Тема	Правильный (равносторонний) треугольник
задача
Номер	05.027