Условие
а) Докажите, что если
a + ha = b + hb = c + hc, то
треугольник ABC правильный.
б) В треугольник ABC вписаны три квадрата: у одного две вершины лежат
на стороне AC, у другого — на BC, у третьего — на AB.
Докажите, что если все три квадрата равны, то треугольник ABC
правильный.
Решение
а) Предположим, что треугольник ABC неправильный;
например a
b. Так как
a + ha = a + b sin
и
b + hb = b + a sin,
то
(a - b)(1 - sin) = 0. Поэтому
sin = 1, т. е.
= 90o.
Но тогда ac, и аналогичные рассуждения показывают,
что
= 90o. Получено противоречие.
б) Обозначим сторону квадрата, две вершины которого лежат
на стороне BC, через x. Из подобия треугольников ABC и APQ,
где P и Q — вершины квадрата, лежащие на AB и AC,
получаем
= 
,
т. е.
x = 
= 
. Аналогичные рассуждения
для других квадратов показывают, что
a + ha = b + hb = c + hc.
Источники и прецеденты использования
